概率论与数理统计(工)自学考试大纲

大纲前言……………………………………………………………………………………………  3

Ⅰ  课程性质与课程目标…………………………………………………………………………  5

Ⅱ  考核目标………………………………………………………………………………………  7

Ⅲ  课程内容与考核要求…………………………………………………………………………  8

第一章  随机事件与概率……………………………………………………………………  8

第二章  随机变量及其概率分布……………………………………………………………  9

第三章  多维随机变量及其概率分布  ……………………………………………………  10

第四章  随机变量的数字特征  ……………………………………………………………  11

第五章  大数定律及中心极限定理  ………………………………………………………  12

第六章  样本与统计量  ……………………………………………………………………  13

第七章  参数估计  …………………………………………………………………………  13

第八章  假设检验  …………………………………………………………………………  14

Ⅳ  关于大纲的说明与考核实施要求  …………………………………………………………  16

概率论与数理统计(工)试题样卷  ………………………………………………………………  19

概率论与数理统计(工)试题样卷答案  …………………………………………………………  22

大纲后记  …………………………………………………………………………………………  24

概率论与数理统计(工)(2023年版)

编写说明  …………………………………………………………………………………………  27

第一章  随机事件与概率  ………………………………………………………………………  29

§1  随机事件………………………………………………………………………………  29

1.1  随机现象  ……………………………………………………………………………  29

1.2  随机试验和样本空间  ………………………………………………………………  29

1.3  随机事件的概念  ……………………………………………………………………  30

1.4  随机事件的关系与运算  ……………………………………………………………  31

习题1.1  ……………………………………………………………………………………  34

§2  概率……………………………………………………………………………………  35

2.1  频率与概率  …………………………………………………………………………  35

2.2  古典概型  ……………………………………………………………………………  36

2.3  概率的定义与性质  …………………………………………………………………  38

2  概率论与数理统计(工)(2023年版)

目  录

习题1.2  ……………………………………………………………………………………  39

§3  条件概率………………………………………………………………………………  40

3.1  条件概率与乘法公式  ………………………………………………………………  40

3.2  全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式  …………………………………………………  42

习题1.3  ……………………………………………………………………………………  44

§4  事件的独立性…………………………………………………………………………  45

4.1  事件的独立性  ………………………………………………………………………  45

4.2  n重伯努利(Bernoulli)试验  …………………………………………………………  48

习题1.4  ……………………………………………………………………………………  49

小结  …………………………………………………………………………………………  50

自测题1  ……………………………………………………………………………………  51

第二章  随机变量及其概率分布  ………………………………………………………………  54

§1  离散型随机变量………………………………………………………………………  54

1.1  随机变量的概念  ……………………………………………………………………  54

1.2  离散型随机变量及其分布律  ………………………………………………………  55

1.3  0-1分布与二项分布  ………………………………………………………………  57

1.4  泊松分布  ……………………………………………………………………………  59

习题2.1  ……………………………………………………………………………………  60

§2  随机变量的分布函数…………………………………………………………………  61

2.1  分布函数的概念  ……………………………………………………………………  61

2.2  分布函数的性质  ……………………………………………………………………  63

习题2.2  ……………………………………………………………………………………  64

§3  连续型随机变量及其概率密度………………………………………………………  65

3.1  连续型随机变量及其概率密度  ……………………………………………………  65

3.2  均匀分布与指数分布  ………………………………………………………………  68

3.3  正态分布  ……………………………………………………………………………  70

习题2.3  ……………………………………………………………………………………  74

§4  随机变量函数的概率分布……………………………………………………………  75

4.1  离散型随机变量函数的概率分布  …………………………………………………  75

4.2  连续型随机变量函数的概率分布  …………………………………………………  77

习题2.4  ……………………………………………………………………………………  79

小结  …………………………………………………………………………………………  80

自测题2  ……………………………………………………………………………………  80

第三章  多维随机变量及其概率分布  …………………………………………………………  84

§1  多维随机变量的概念…………………………………………………………………  84

1.1  二维随机变量及其分布函数  ………………………………………………………  84

1.2  二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律………………………………………  85

1.3  二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度…………………………………  90

概率论与数理统计(工)(2023年版)

目  录  3

习题3.1  ……………………………………………………………………………………  94

§2  随机变量的独立性……………………………………………………………………  96

2.1  两个随机变量的独立性  ……………………………………………………………  96

2.2  二维离散型随机变量的独立性  ……………………………………………………  96

2.3  二维连续型随机变量的独立性  ……………………………………………………  99

2.4  n个随机变量的相互独立  …………………………………………………………  101

习题3.2……………………………………………………………………………………  103

§3  两个随机变量的函数的分布  ………………………………………………………  103

3.1  两个离散型随机变量的函数的分布  ………………………………………………  103

3.2  两个相互独立的连续型随机变量之和的概率分布  ………………………………  106

习题3.3……………………………………………………………………………………  108

小结…………………………………………………………………………………………  108

自测题3……………………………………………………………………………………  109

第四章  随机变量的数字特征…………………………………………………………………  113

§1  随机变量的数学期望  ………………………………………………………………  113

1.1  离散型随机变量的数学期望  ………………………………………………………  113

1.2  连续型随机变量的数学期望  ………………………………………………………  116

1.3  二维随机变量的数学期望  …………………………………………………………  119

1.4  数学期望的性质  …………………………………………………………………  120

习题4.1……………………………………………………………………………………  121

§2  方差  …………………………………………………………………………………  122

2.1  方差的概念  ………………………………………………………………………  122

2.2  常见随机变量的方差………………………………………………………………  125

2.3  方差的性质  ………………………………………………………………………  130

习题4.2……………………………………………………………………………………  133

§3  协方差与相关系数  …………………………………………………………………  134

3.1  协方差  ……………………………………………………………………………  134

3.2  相关系数  …………………………………………………………………………  136

3.3  矩、协方差矩阵  ……………………………………………………………………  141

习题4.3……………………………………………………………………………………  142

小结…………………………………………………………………………………………  143

自测题4……………………………………………………………………………………  143

第五章  大数定律与中心极限定理……………………………………………………………  148

§1  切比雪夫(Chebyshev)不等式  ……………………………………………………  148

习题5.1……………………………………………………………………………………  150

§2  大数定律  ……………………………………………………………………………  150

2.1  伯努利大数定律  …………………………………………………………………  150

2.2  独立同分布的随机变量序列的切比雪夫大数定律  ………………………………  151

4  概率论与数理统计(工)(2023年版)

目  录

§3  中心极限定理  ………………………………………………………………………  152

3.1  独立同分布序列的中心极限定理  …………………………………………………  152

3.2  棣莫弗  拉普拉斯中心极限定理  …………………………………………………  154

习题5.3……………………………………………………………………………………  157

小结…………………………………………………………………………………………  157

自测题5……………………………………………………………………………………  158

第六章  统计量及其抽样分布…………………………………………………………………  160

§1  引言  …………………………………………………………………………………  160

§2  总体与样本  …………………………………………………………………………  160

2.1  总体与个体  ………………………………………………………………………  160

2.2  样本  ………………………………………………………………………………  161

§3  统计量及其分布  ……………………………………………………………………  163

3.1  统计量与抽样分布…………………………………………………………………  163

3.2  经验分布函数  ……………………………………………………………………  163

3.3  样本均值及其抽样分布……………………………………………………………  164

3.4  样本方差与样本标准差……………………………………………………………  165

3.5  样本矩及其函数  …………………………………………………………………  167

3.6  极大顺序统计量和极小顺序统计量  ………………………………………………  167

3.7  正态总体的抽样分布………………………………………………………………  167

习题6.3……………………………………………………………………………………  173

小结…………………………………………………………………………………………  174

自测题6……………………………………………………………………………………  174

第七章  参数估计………………………………………………………………………………  176

§1  点估计的几种方法  …………………………………………………………………  176

1.1  替换原理和矩法估计………………………………………………………………  176

1.2  极大似然估计  ……………………………………………………………………  178

习题7.1……………………………………………………………………………………  182

§2  点估计的评价标准  …………………………………………………………………  183

2.1  相合性  ……………………………………………………………………………  183

2.2  无偏性  ……………………………………………………………………………  184

2.3  有效性  ……………………………………………………………………………  185

习题7.2……………………………………………………………………………………  185

§3  参数的区间估计  ……………………………………………………………………  185

3.1  置信区间的概念  …………………………………………………………………  186

3.2  单个正态总体参数的置信区间  ……………………………………………………  187

习题7.3……………………………………………………………………………………  191

小结…………………………………………………………………………………………  192

自测题7……………………………………………………………………………………  192

概率论与数理统计(工)(2023年版)

目  录  5

第八章  假设检验………………………………………………………………………………  193

§1  假设检验的基本思想和概念  ………………………………………………………  193

1.1  基本思想  …………………………………………………………………………  193

1.2  统计假设的概念  …………………………………………………………………  194

1.3  两类错误  …………………………………………………………………………  195

1.4  假设检验的基本步骤………………………………………………………………  196

习题8.1……………………………………………………………………………………  197

§2  正态总体均值的假设检验  …………………………………………………………  197

2.1  u检验………………………………………………………………………………  197

2.2  t检验  ………………………………………………………………………………  198

习题8.2……………………………………………………………………………………  201

§3  正态总体方差的假设检验  …………………………………………………………  202

3.1  χ2检验  ……………………………………………………………………………  202

习题8.3……………………………………………………………………………………  204

小结…………………………………………………………………………………………  204

自测题8……………………………………………………………………………………  205

附表1  标准正态分布表  ………………………………………………………………………  206

附表2  泊松分布表  ……………………………………………………………………………  207

附表3  t分布表  ………………………………………………………………………………  209

附表4  χ2分布表  ………………………………………………………………………………  211

附表5  F  分布表  ………………………………………………………………………………  214

习题解答或提示…………………………………………………………………………………  222

参考文献…………………………………………………………………………………………  233

后记………………………………………………………………………………………………  234

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